¿Es una Escalera Teselada una Tescalera?
Hay un problema al cual llevo 20 años dándole vueltas. No es que tuviera intención de resolverlo. Es más parecido a apoyar a un equipo de fútbol. No quiero meter gol, pero sí ver qué maravillas puede llevar a cabo el equipo. Y llevo 20 años preguntándome: ¿Lo conseguirán? ¿Hay respuesta?
Hoy tengo el privilegio de estar rehabilitando una casa. Y hay que reconstruir la escalera. Así que me dije: ¿Por qué no contar la historia de este problema escalón a escalón? Y es que el problema se presta. El problema es: ¿Qué maneras hay de alicatar un baño o una cocina?
Descubrí a este equipo de alicatadores en mis primeros contactos con los agujeros negros. Resulta que Roger Penrose, matemático británico y padre de la teoría de los agujeros negros, es un alicatador aficionado. Pero la historia empieza mucho antes.
Hace al menos 5000 años que los antiguos utilizaban teselados para sus casas y templos. Los sumerios ya hacían mosaicos geométricos con "teselas" de arcilla cocida.
Mosaico que con un patrón de teselación realizado con teselas de color
en la ciudad sumeria de Uruk IV (3400–3100 AC) [wiki]
Pero ¿Qué es una teselación? La definición más básica es el uso de una forma geométrica para cubrir una superficie sin huecos ni solapamientos. La primera descripción explícita sobre las posibles teselaciones nos la brinda Arquímedes sobre la teselación regular.
Si elegimos un solo polígono regular como un triángulo (3), cuadrado (4), pentágono (5), hexágono (6), etc, ¿se podría cubrir todo el plano sin dejar huecos? Esta teselación se conoce como teselación regular. ¿Cuántos polígonos permiten crear una teselación regular? La respuesta es sorprendente: de todos los polígonos regulares, sólo 3 pueden formar una teselación regular:
Sólo triángulos, cuadrados y hexágonos funcionan. Las abejas han elegido la teselación con mayor ratio entre perímetro y superficie. Es decir, gastan menos cera (perímetro) y ganan más espacio (superficie).
Un pentágono, por ejemplo, siempre va a dejar huecos, ya que la suma de los ángulos interiores es 108º, que no es múltiplo de 360º.
Una teselación con pentágonos deja huecos (en blanco)
Lo mismo sucede con el resto de los polígonos regulares.
Nuestro primer tramo de escalera hace homenaje a este resultado. Tenemos tabicas (o contrahuellas) con las 3 teselaciones regulares, y un último escalón que ejemplifica la imposibilidad de teselar con pentágonos:
¿Y si nos permitimos usar combinaciones de dos o más polígonos regulares?
Por ejemplo, si nos limitamos a los 10 primeros polígonos (triángulo, cuadrado, …, decágono), y buscamos combinaciones con 2, 3, 4, 5 o 6 polígonos … ¡hay 7987 combinaciones posibles! En 1619, Johannes Kepler estudió la cuestión en Harmonices Mundi, un libro que combina geometría, música y astronomía. Kepler demuestra que si usamos dos o más polígonos regulares, sólo hay 8 teselaciones posibles [ver gruze para más detalles]. Estas son:
Es decir, se puede demostrar que si usamos combinaciones de triángulos equiláteros, cuadrados, pentágonos, hexágonos, etc, … solo las combinaciones de la ilustración más arriba cubren el plano sin dejar huecos. Una manera de clasificar las combinaciones es fijarnos en los vértices en los cuales se encuentran los polígonos:
En el primer ejemplo de arriba a la izquierda vemos que cada vértice (punto en el que se unen polígonos) está en contacto con un cuadrado, hexágono y dodecágono (la notación matemática para describir esta teselación es: 4.6.12). La siguiente teselación usa hexágonos, cuadrados y triángulos. Cada vértice se puede describir con (3.4.6.4), y así sucesivamente. Podemos encontrar un ejemplo de esta teselación en el museo arqueológico de Sevilla:
Fuente: wiki
La segunda sección de nuestra escalera tiene 8 escalones. Y como no podía ser de otra manera, cada tabica es una de las 8 teselaciones semi-regulares posibles. Las teselaciones "congruentes perfectas" de Kepler.
Lo admito, ¡Son muchas formas! ¿Pero qué se le va a hacer? … Kepler se maravilló ante la sencillez de tener solo 8 combinaciones posibles, y nosotros también lo hacemos aquí.
Los sumerios, egipcios y griegos ya exploraron teselaciones simétricas en su arquitectura. Sin embargo, la arquitectura islámica de los siglos XI a XVI explora estas ideas de manera más exhaustiva. Gracias a los intercambios culturales con griegos, persas e hindúes, el mundo islámico introduce sus propias innovaciones en geometría y arquitectura.
Shah Nematollah Vali, Mahan, Iran, 1431 - Fuente: anaareh saaveh - mahan11, CC BY 2.0,
El ejemplo por excelencia en España es la Alhambra, por supuesto.
Alicatados geométricos en la Alhambra - Alhambra Patronato
Es aquí dónde M.C. Esher estudia las transformaciones isométricas del plano. "Iso / métricas" significa que conservan las medidas del objeto trasladado. En otras palabras, ¿Cómo podemos trasladar las formas por el plano para teselarlo sin dejar huecos?
(Dibujo de M.C. Escher, 1936 )
La isometría del plano más sencilla es la traslación. Cogemos la forma que es la base del patrón y la repetimos trasladándola por el plano. He aquí un ejemplo de la Alhambra generado por una simple traslación:
Una isometría más compleja podría ser esta:
Fuente: Ana Chavez-Caliz
Aquí se combinan dos rotaciones (indicadas por los diamantes amarillos) una reflexión (siguiendo la línea azúl) y un deslizamiento y reflexión (línea azul discontínua).
¿Cúantas maneras hay de trasladar, reflejar y rotar figuras para cubrir el plano? La respuesta a esa pregunta vino de la mano de un geólogo matemático. El estudio de minerales en el siglo XIX ya requería conceptos geométricos. El ruso Evgraf Fedorov en 1891 descubre que sólo hay 17 maneras de generar estos patrones (si los motivos se repiten en dos direcciones independientes). El húngaro George Polya también lo demostró de manera independientemente en 1924, publicando la siguiente figura para ilustrar los 17 grupos:
Lo interesante, es que los patrones que se encuentran en la Alhambra contienen al menos 14 de los 17 grupos. Si los 3 últimos están o no presentes es objeto de debate. Si incluimos colores y patrones incompletos parecería que sí están presentes, pero no hay consenso.
La matemática Moira Chas explica bien el efecto que estas simetrías tuvieron sobre el arte de Escher:
Fascinado con estas simetrías, Escher había visitado la Alhambra en 1926 y trató de reproducirlas mediante motivos figurativos. Pero en esta primera ocasión no alcanzó resultados que lo satisficieran. Volvió en 1937 con su esposa Jetta y juntos estudiaron estos mosaicos. Y allí ocurrió una de esas maravillosas metamorfosis del arte: sus dibujos de repeticiones un tanto grotescas encontraron la manera de reflejar las intrincadas simetrías volviendo nuevamente a las formas animales y humanas (los musulmanes no podían representar seres vivos). El círculo se cerró una vez más, un arte que fue creado evitando cuidadosamente toda referencia figurativa, floreció bajo
los dedos de Escher en la forma más figurativa posible.
El siguiente tramo de nuestra escalera ilustra la variedad de patrones que podemos generar partiendo de una forma sencilla como puede ser este triángulo:
Los 8 escalones siguientes exploran rotaciones, traslaciones y reflexiones.
Un elemento del arte islámico y mozárabe que encontramos en Toledo y que me gusta es la lacería. Se trata de adornos formados por bandas entrelazadas. Estos lazos, a menudo siguen patrones geométricos que definen estrellas.
Franco Rodríguez, Elena (2019)
Armadura del Claustro de San Juan de los Reyes (Toledo)
¿Cómo se definían estas formas? No se sabe mucho sobre las técnicas matemáticas que se usaban en el mundo islámico de la edad media para realizar teselaciones con lacería. Es plausible que las técnicas fueran secretos guardados por los artesanos y sus gremios. Uno de los pocos documentos que recogen estas técnicas es el pergamino de Topkapi.
El Pergamino persa Topkapi del siglo XV documenta técnicas utilizadas para la creación de mocárabe, caligrafía y teselaciones
El pergamino sugiere que muchas de las estrellas que encontramos en el arte islámico no se derivaban geométricamente con regla y compás, sino que se combinaban piezas básicas para crearlas.
Estas piezas, conocidas en farsi como Teselas Girih, llevan usándose al menos 700 años. El pergamino de Mizra Akbar también detalla las construcciónes matemáticas que pudieron usar. Más adelante, en España, López de Arenas publica un tratado teórico en 1633 explicando las técnicas de carpintería usadas en los artesonados con lacería. En nuestro caso, y como preámbulo a las teselaciones aperiódicas, usaremos teselas Girih para diseñar la siguiente sección de la escalera.
En el primer intento, usamos estas 3 teselas Girih clásicas:
Para producir este patrón:
Pero finalmente añadimos una tesela estrellada:
Para dar lugar a la siguiente sección de la escalera:
Esta construcción geométrica es paradigmática de una estrategia muy común en matemáticas: Encontrar un patrón sencillo que se repite dentro de uno de apariencia compleja.
Por supuesto, podemos ir relajando las restricciones que nos hemos impuesto anteriormente. Por ejemplo, permitiendo que los vértices se sitúen en las aristas, …
o sustituyendo los polígonos regulares por polígonos irregulares.
O abandonando polígonos por completo para usar formas curvas como en los polígonos nazaríes:
O dejar volar nuestra imaginación …
Fuente: M.C.Escher
En 1918, los matemáticos se plantearon una pregunta sobre polígonos irregulares. ¿Cuántas teselaciones existen si usamos polígonos convexos?
Fuente: Ceibal Uruguay
En un polígono convexo, podemos trazar líneas entre dos de sus puntos sin cruzar el perímetro. ¡Parece una pregunta inocente! Reinhardt, lo intenta primero y encuentra 5 teselaciones. Lo intenta durante 20 años más … pero no encuentra ninguna. Tras 57 años de esfuerzos, se encontraron 5 teselaciones irregulares convexas adicionales [mathpuzzle]. Y solo en el 2017, el matemático francés Michaël Rao pudo demostrar que solo existen 15 teselaciones posibles [Quanta-Rao]. Es más, no existe ningún polígono convexo con más de 6 lados que pueda cubrir el plano.
Algunas de estas formas fueron descubiertas a finales de los 70 por una ama de casa y matemática aficionada. Marjorie Rice, apasionada de las matemáticas hizo contribuciones originales [Quanta-Rice]. Esta imagen contiene algunos de sus hallazgos:
😯 ¡Mucho, pero mucho, más difícil todavía!
En los años 60 Hao Wang lanzó una conjetura: si un conjunto de baldosas cubre el plano, siempre es posible colocarlas para cubrir el plano de manera periódica (es decir, definiendo formas que se repiten repetidamente).
Fuente: twitter Ana Chavez-Caliz
Es importante recalcar bien lo que Wang estaba diciendo. Consideremos por ejemplo esta teselación semi-regular y periódica:
Está compuesta por 3 polígonos regulares. Pero es relativamente fácil conseguir una teselación aperiódica (que nunca se repite), rotando algunas formas. Por ejemplo rotando estas dos:
[ref quanta-history-tiling]
Como hay dos lugares únicos en ese plano, el patrón ya no se repite en ciertas direcciones (es aperiódico). Pero el reto que Hao Wang propuso era mucho más ambicioso: En el caso anterior, si reorganizamos las piezas, es posible volver a crear un patrón periódico. La conjetura de Hao Wang decía que, para cualquier conjunto de piezas que cubren el plano, siempre es posible reorganizar las piezas para crear un patrón periódico. Es decir, que las teselaciones intrínsecamente aperiódicas no existen!
Uno de sus estudiantes se propuso llevarle la contraria. Esta no era una tarea fácil. Primero había que imaginar formas nuevas. Y después demostrar que no existía manera alguna de combinarlas de manera periódica. Robert Berger, su estudiante, estuvo 5 años buscando, y encontró un inesperado monstruo geométrico. Había inventado 20,426 formas distintas y demostrado que era imposible combinarlas de manera periódica. Probar todas las combinaciones es imposible, claro. La demostración se apoya en otras ramas de la matemática como las máquinas de Turing y la lógica pura. El diagrama siguiente muestra algunos de los conceptos de la demostración
Fuente: https://www.lacl.fr/pvanier/rech/cirm.pdf
Pero claro, alicatar una cocina, una escalera o un baño con 20,000 azulejos diferentes no trae alegría! Así que Berger se puso manos a la obra y descubrió 104 formas … y finalmente 94. Era imposible crear patrones periódicos si se empezaba con esas 94 formas de base. La siguiente pregunta era por supuesto:
¿Se puede hacer con menos formas?
Tan solo 5 años más tarde, en 1971, ¡los alicatadores meten un golazo! Raphael Robinson demuestra que con solo 6 formas se puede generar una teselación aperiódica, y que una periódica es imposible.
Fuente: Thomas Fernique (YAP of the aperiodicity of Robinson Tiles)
En realidad, el resultado cambia ligeramente las reglas del juego.
De esas combinaciones nacen patrones de líneas azules. Y estas líneas van generando nuevas formas.
La demostración se apoya sobre la observación de que van apareciendo nuevas estructuras a cada escala. Como muñecas rusas, cada una diferente de su hermana pequeña. Pero …
¿Se puede hacer con menos formas?
Entonces, tan solo dos años más tarde, entra un fichaje inesperado. Matemático virtuoso pero ajeno a la teoría de teselaciones. Roger Penrose anuncia en el 73 haber descubierto 6 teselas aperiódicas.
Fuente: Inductiveload - Public Domain,
Al igual, que las formas de Robinson, las irregularidad aparece cuando imponemos ciertas reglas (ya sea con líneas que tienen que casar, o con hendiduras que tienen que encontrarse como en un puzle). Si seguimos las reglas, encontramos otra teselación aperiódica:
Penrose da crédito a Kepler, que ya había estudiado patrones similares en su Harmonices Mundi más de 450 años antes. Unos meses más tarde, analizando sus 6 formas, hace un pase cambiado y anuncia que lo puede hacer con tan solo DOS FORMAS! En el mundillo se conocen como la cometa y el dardo (o flecha).
Por si fuera poco, la proporción entre las aristas es la proporción áurea 😲.
Se puede incluso simplificar más allá usando Rombos estrechos y rombos anchos:
A finales de los 70, se abre la veda de las teselaciones aperiódicas. Pero aparte de alicatar baños excéntricos, ¿sirve para algo? ¡Buena pregunta! En los años 80, el estudio cristalográfico de materiales avanza, y con él llegan más sorpresas. El dogma era que los cristales eran periódicos (con defectos ocasionales). Pero Dan Schetman descubre en el 84 un cristal aperiódico. Conocidos como cuasicristales, su estudio fué posible gracias a las herramientas creadas por nuestro equipo de alicatadores. Schetman fué galardonado con el premio Nobel de química en el 2011 por la síntesis de cuasicristales aperiódicos. Es curioso que muchos de los materiales aperiódicos que conocemos en la tierra son sintéticos. El único material aperiódico natural ha sido encontrado en un meteorito.
Energía potencial del Aluminio Paladio Manganeso con estructura aperiódica
En los últimos 40 años ha habido varios descubrimientos acerca de teselaciones aperiódicas.
Por ejemplo, las teselaciones de Ammann-Beenker o de Socolar en los 80. Nuestro siguiente tramo
de escalera está inspirado por el mural del matemático Edmund Harriss.
https://x.com/DynamicsSIAM/status/1562602821265985537 by @Gelada
Este mural describe una progresión en los colores y texturas de una teselación aperiódica. El físico Socolar introduce 3 formas (hexágono, cuadrado y rombo) y unas reglas para combinarlos en una publicación de física de materiales [Phys. Rev.B 1988]. El trabajo versa sobre la estructura que posiblemente podría subyacer en cristales aperiódicos, y calcula las energías y propiedades que tendrían estos materiales.
Ilustración de Socolar sobre las reglas para combinar hexágonos, cuadrados y rombos [Phys. Rev. B. 1988]
Basándonos en las reglas de Socolar y el dibujo de Edmund Harris, hacemos la siguiente sección de nuestra escalera, con peldaños a modo de teselación aperiódica basada en hexágonos, cuadrados y rombos:
A medida que subimos, el patrón pasa de estar definido por los tonos, a estar definido por las aristas, y finalmente por los nodos … que marcan la llegada a las habitaciones, casi como estrellas que nos invitan a dormir. Esta sección de escalera está compuesta por fragmentos equi-espaciados de esta teselación:
¿Puedes llegar a encontrar las bolas de este patrón en la escalera?
En la siguiente sección pasamos de 3 formas a dos, y nuestra escalera se basa en los dardos y cometas:
Dando lugar al siguiente diseño de contrahuellas:
Pero la pregunta que nos hacíamos todos era: ¿Existe Einstein?
Es un juego de palabras que usan los alicatadores teóricos. ¿Existe una sola pieza o una sola piedra que genere estos patrones aperiódicos? Tras el descubrimiento de la cometa y el dardo en los 70, pasaron 36 años antes de la primera propuesta para un "Einstein". ¿Era acaso posible?
La primera respuesta llegó de un lugar insospechado. Una matemática aficionada de Tasmania había quedado fascinada por las teselas de Penrose en los 90. Durante 20 años había dibujado a mano centenares de patrones, jugando con ideas y buscando teselaciones aperiódicas.
Cuaderno de Joan Taylor [taylortiling]
En 2010 se pone en contacto con el físico Socolar compartiendo una idea para una "Einstein", una sola tesela hexagonal y aperiódica. Sin embargo, la propuesta de Socolar y Taylor de 2010 tenía algo no del todo satisfactorio. Las formas no eran conexas. Aquí vemos 7 formas, que se entrelazan. Pero cada forma está fragmentada. ¿Cómo vamos a alicatar el baño con esto?
La solución no se dió por buena, y el problema seguía abierto. Muchos matemáticos daban el problema por imposible. 12 años más tarde, en Inglaterra, un jubilado de la imprenta jugaba con sus temas favoritos: formas, mapas y puzles.
David Smith - Quanta Magazine
David Smith, no es matemático, pero conocía el reto de encontrar el Einstein. Un buen día de Noviembre 2022, Smith creó una forma en el ordenador y empezó a cortar y pegar. Lo había intentado con centenares de formas … y normalmente aparecían patrones regulares, o era imposible seguir. Esta forma era diferente. No había regularidad, pero podía seguir creciendo. Inmediatamente escribió a los expertos Craig S. Kaplan, Joseph Samuel Myers, y Chaim Goodman-Strauss. Esta era la forma:
¿Podía ser este el santo grial de los teselados? La forma parecía demasiado sencilla, los ángulos anodinos. Es como si hubiéramos tenido “el Einstein” delante de nuestras narices durante 40 años, y nadie lo hubiera visto. Eran solo unos pocos triángulos:
Y sin embargo, tras comprobarlo una y otra vez durante semanas, se confirmó: Habían descubierto un precursor de una teselación aperiódica. Lo llamaron "El Sombrero". Pero había un pero. Para teselar de manera aperiódica había que usar el sombrero y su imagen especular (la imagen vista en un espejo). Se podría decir que eran dos formas … y no una! Ante las objeciones se pusieron manos a la obra, y descubrieron una familia entera de formas, incluyendo la tortuga:
En Mayo del 2023, modificando la tortuga con bordes curvilíneos, habían llegado a la respuesta final. 60 años antes, Wang había dicho que no existían teselaciones aperiódicas. Este equipo demostró no solo que existían, sino que una sola pieza garantizaba patrones que no se repetían nunca. Ya fuera un alicatado de 2 metros ó de 2 años luz. Les presento "El fantasma" o "espectro":
Source: Mckennagene
El último tramo de la escalera, como no podía ser de otra manera, está compuesto por "mono-teselas", ya sean sombreros ó fantasmas. Según el dibujo o colores que añadimos a las teselas, aparecen formas extraordinarias sin periodicidad aparente. En nuestro caso utilizamos sombreros con curvas sobre-impuestas (inspirado por un modelo de Carlos Luna):
Seguimos las instrucciones para combinar sombreros del paper original
Para definir tabicas con los siguientes agujeros curvos:
Que quedarían en cada escalón de esta manera:
Por supuesto, hay muchas posibilidades por explorar en el mundo de las “mono-teselas”. Aquí dejo dos ejemplos de patrones basados en "el sombrero":
Patrón de Galaxy_map (twitter)
y
Divulgación de Teselaciones
Teoría de Teselaciones
Lacería mudejar:
Herramientas y Simuladores:
Tutoriales geometría:
Física y Aplicaciones
Gente
